بحث عن الضرب الداخلي في الرياضيات

دراسة عن الضرب الداخلي في الرياضيات ، أن الرياضيات من أهم المواد التي يتم تدريسها في المدارس وعلى جميع المستويات التعليمية ، بالإضافة إلى أن الرياضيات تحمل العديد من الإجراءات الحسابية التي تحتاج إلى فهمها إلى حد كبير ، وعملية حسابية تحتاج العمليات إلى قواعد ونظريات رياضية لا يمكن تجاهلها ، ويتجاهل العديد من الطلاب هذين الأمرين تمامًا ، ولهذا السبب يواجهون صعوبة في فهم الآليات الحسابية المعقدة. .

بحث عن الضرب الداخلي في الرياضيات بكل العناصر

في هذه الفقرة ، سوف نقدم لك تعريف الزاوية بين متجهين في مساحة الضرب الداخلية ونستخدم ذلك للحصول على بعض العلاقات الأساسية بين متجهات مساحة الضرب الداخلية ، مثل العلاقات الهندسية بين مسافة الصفر ومساحة العمود من المصفوفة.

لقد تعلمنا من الفصول السابقة أنه إذا v ، u ناقلات في ص2 و θ هي الزاوية بينهما:

نظرية (1-1)

(عدم مساواة كوجي شوارتز): إذا ش ، ضد المتجهات في فضاء الضرب الداخلي الحقيقي ، ثم:

البرهان:

من عدم المساواة يتضح أن كثير الحدود في2+ bt + ج إما أنه ليس له جذور حقيقية أو جذور حقيقية متكررة. لذا فإن صفتها تحقق عدم المساواة.

منذ الحصول على الصيغة الأولى من خلال النظرية (1-1) والصيغة الثانية التي نحصل عليها من الصيغة الأولى باستخدام حقيقة ذلك

مثال(1):

لاحظ أنه يمكن اعتبار عدم المساواة Kogi-Schwartz حالة خاصة من النظرية (1-1) عن طريق أخذ.كضرب إقليدي داخلي ضد ش.

خصائص الطول والمسافة في فضاء الضرب الداخلي:

إذا كانت w ، u ، v المتجهات في مساحة الضرب الداخلية الخامس و ال ك الكمية الثابتة إذن:

من السهل إثبات صحة الخواص المذكورة أعلاه ، لذلك نترك البراهين ، وللتوضيح سنثبت الصفة رقم لا. 4.

ملاحظة: يتضح من الخصائص الثمانية أن خصائص المتجه في الفضاء n لإقليدس تظل صحيحة في فضاء الضرب الداخلي.

الزاوية بين المتجهات في مساحة الضرب الداخلية:

مثال(2):

أوجد الزاوية θ بين الاثنين الخامس = (2 ، 1،5) و ال ش = (1 ، -3 ، 2) في ص2

الحل:

هوية (1-2):

نواقل تقول الخامس و ال ش في مساحة الضرب الداخلية مثل متعامد إذا تم استيفاء الشرط التالي:

= 0

مثال(3):

مثال(4):

فليكن ع = س و ال ف = س2 متعدد الحدود في ص2 معرف بالضرب الداخلي.

لذلك ص و ال ف عمودي على الضرب الداخلي.

نظرية (1-3):

(نظرية فيثاغورس): إذا ش ، ضد المتجهات المتعامدة في مساحة الضرب الداخلية ، ثم:

البرهان:

مثال(5): فليكن ف ، ص كما في المثال(4)، ومن بعد:

يمكن حل المثال (5): بطريقة أخرى باستخدام تعريف التكامل على النحو التالي:

هذه هي نفس النتيجة التي حصلنا عليها سابقًا.

هوية (1-4):

فليكن يو فضاء فرعي لمساحة الضرب الداخلية الخامس. المتجه الخامس في الخامس يقال له عمودي يو إذا كان عموديًا على كل متجه في يو. مجموعة من جميع النواقل في الخامس عمودي يو يقال لها مكمل عمودي للفضاء الجزئي يو .

نظرية (1-5):

إذا كانت يو مسافة فرعية في مساحة الضرب الداخلية الخامسومن بعد:

1. يو الفضاء الجزئي في الخامس.

2. المتجه الوحيد المشترك ل يو ، ف هو المتجه الصفري.

3. العمود مكمل على يو هو يو [أي أن (U1)1 ] .

البرهان:

(1) نفس ش ، ضد يتجه في دبليو1 و ال ك مبلغ ثابت ، فليكن ث في دبليوهو = 0 ، = 0

لذا:

نظرية (1-6):

فليكن أ مصفوفة السعة م س ن ومن بعد:

1. مساحة صفرية ومساحة صف أ هم متعامدون مكملون فيص2 نسبة الضرب الداخلية الإقليدية.

2. مصفوفة الفضاء الصفري أتي وأعمدة الفضاء أ هم مكملات متعامدة في صم نسبة الضرب الداخلية الإقليدية.

البرهان:

1. ما هو مطلوب للإثبات هو إذا الخامس متجه عمودي على أي متجه في مساحة الصف أ ومن بعد Av = 0 والعكس صحيح Av = 0 ومن بعد الخامس تدبر مع أي متجه في مساحة الصف أ لأنه يعطينا أن المكمل المتعمد لمساحة الصف أ هي المساحة الصفرية للمصفوفة أ.

لذلك نحن نفترض ذلك الخامس عمودي على أي متجه في مساحة الصف أ. على وجه الخصوص نحن نفرض الخامس عمودي على نواقل الصف أدعنا نسميها ص1 ص2… ، صن.

لذا:

لذا فإن النظام الخطي الفأس = 0 يمكن كتابتها على النحو التالي:

لهذا الخامس إنه حل لهذا النظام ، ومن هذا نستنتج أن هذا الحل يقع في الفضاء أ صفر.

على العكس من ذلك: افترض ذلكالخامس ينتمي إلى الفضاء أ حتى الصفر Av = 0لذا:

ولكن إذا كان ص أي متجه في مساحة الصف أ ومن بعد ص يكتب:

لهذا:

لذا الخامس عمودي على كل من نواقل مساحة الصف أ.

2. باستخدام دليل الجزء الأول ، نثبت الجزء الثاني من خلال تكوين مساحة عمود أ إنها مساحة صف أتي.

مثال(6):

أوجد المكمل عموديًا على الفضاء الجزئي يو في ص4 تم إنشاؤه بواسطة:

إذن مساحة الصفر في المصفوفة أوهو المكمل الرأسي لـ يوهي مجموعة المتجهات:

عليه {(-5، 4، -2، 1)} هو الأساس يو1.

ملاحظة:

من خلال إضافة الخصائص التالية:

1. مكمل العمود إلى الفضاء أ الصفر هو صن.

2. المكمل الرأسي لمساحة الصف أ هو {0}.